Question

已知函数，且在和处取得极值.
（1）求函数的解析式.
（2）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）
（2）存在，且或时，使得曲线与轴有两个交

试题分析：解：（1），
因为在和处取得极值，
所以和是＝0的两个根，
则解得经检验符合已知条件
故 
（2）由题意知，
令得，或，
随着变化情况如下表所示：

		1	（1，3）	3
	－	0	+	0	－
	递减	极小值	递增	极大值	递减

由上表可知：极大值＝，
又取足够大的正数时，；
取足够小的负数时，，
因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，
得：，
∴或，
即存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.
点评：根据导数的符号判定函数的单调性是解题的关键，同时能利用其极值于x轴的关系的求解交点问题，属于中档题。