Question

（满分15分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为 

（1）求椭圆的方程 

（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C  D两点  问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，使得以CD为直径的圆过点E.

【解析】第一问中利用A（0，-b）和B（a，0）的坐标，设出直线方程，然后利用椭圆的性质得到

然后求解得到a,b的值。从而得到椭圆方程

第二问中，联立方程组，直线与椭圆联立得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，以及以CD为直径的圆过E点，即当且仅当CE⊥DE时，可知k的值。

解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0  依题意　解得　

∴　椭圆方程为　  ………………6分

（2）假若存在这样的k值，由得 

　∴　  　　　①

　　设，  ，，则　②

　　而  ………………10分

　　要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即  ∴　  ③

　　将②式代入③整理解得  经验证，，使①成立 

　　综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E  ………………15分