Question

（12分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F(,0)，一条渐近线m:x+y=0，设过点A(－3,0)的直线l
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过原点的直线a∥l，且a与l的距离为，求k的值；
（3）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

Answer 1

（1）－y2=1
（2）k=±
（3）略

（1）设双曲线C的方程为x2－2y2=λ(λ＞0)，
∴λ+=3，解得λ="2." 双曲线C的方程为－y2="1." （4分）
（2）直线l：kx－y+3k=0，直线a:kx－y=0.由题意，
得，解得k=±.(8分)
（3）证法一：设过原点且平行于l的直线b: kx－y=0，则直线l与b的距离d=，当k＞时，d＞.(12分)
又双曲线C的渐近线为x±y=0,
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.