题目内容

已知各项均为非负实数的数列{a_n}，{b_n}满足：对任意正整数n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=0，b₁=1．
（I）求证：数列{ $数学公式$ }是等差数列；
（II）设 $数学公式$ ，当n≥2，n∈N时，试比较 $数学公式$ 与T_n的大小．

解：（I）∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，①
∵b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ，②
由②得 $\text{[math]}$ ，③
将③代入①，得对任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n= $\text{[math]}$ ，
即2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴{ $\text{[math]}$ }是等差数列．
（II）∵a₁=0，b₁=1，
∴a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，
又{ $\text{[math]}$ }是等差数列，
故 $\text{[math]}$ ，
当n≥2时，a_n=n（n-1），
又a₁=0，∴a_n=n（n-1），
∴ $\text{[math]}$ ，（n≥2），
当n=2时， $\text{[math]}$ ，
当n=3时， $\text{[math]}$ ，
当n≥4时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ ，
综上， $\text{[math]}$ ＜T_n．
分析：（I）由已知，得2b_n=a_n+a_n+1， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，所以2b_n= $\text{[math]}$ ，由此能够证明{ $\text{[math]}$ }是等差数列．
（II）由a₁=0，b₁=1，得a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，由{ $\text{[math]}$ }是等差数列，得 $\text{[math]}$ ，由此入手能够证明 $\text{[math]}$ ＜T_n．
点评：本题考查等差数列的证明和不等式的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．