题目内容
（2012•浙江模拟）已知各项均为非负实数的数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=0，b1=1．
（I）求证：数列{
}是等差数列；
（II） 设Sn=
+
+…
，Tn=
+
+…
，当n≥2，n∈N时，试比较
Sn与Tn的大小．
（I）求证：数列{
| bn |
（II） 设Sn=
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 7 |
| 5 |
分析：（I）由已知，得2bn=an+an+1，an+12=bn•bn+1，故an+1=
，所以2bn=
+
，由此能够证明{
}是等差数列．
（II）由a1=0，b1=1，得a2=2，b2=4，a3=6，b3=9，由{
}是等差数列，得bn=n2，由此入手能够证明
Sn＜Tn．
| bnbn+1 |
| bn-1bn |
| bnbn+1 |
| bn |
（II）由a1=0，b1=1，得a2=2，b2=4，a3=6，b3=9，由{
| bn |
| 7 |
| 5 |
解答：解：（I）∵an，bn，an+1成等差数列，
∴2bn=an+an+1，①
∵bn，an+1，bn+1成等比数列，
∴an+12=bn•bn+1，②
由②得an+1=
，③
将③代入①，得对任意n≥2，n∈N*，
有2bn=
+
，
即2
=
+
，
∴{
}是等差数列．
（II）∵a1=0，b1=1，
∴a2=2，b2=4，a3=6，b3=9，
又{
}是等差数列，
故bn=n2，
当n≥2时，an=n（n-1），
又a1=0，∴an=n（n-1），
∴Sn=1-
，（n≥2），
当n=2时，
S2=
＜T2，
当n=3时，
S3=
＜T3，
当n≥4时，Tn≥
+
+
+
=
＞
，
而
Sn=
(1-
)＜
，
综上，
Sn＜Tn．
∴2bn=an+an+1，①
∵bn，an+1，bn+1成等比数列，
∴an+12=bn•bn+1，②
由②得an+1=
| bnbn+1 |
将③代入①，得对任意n≥2，n∈N*，
有2bn=
| bn-1bn |
| bnbn+1 |
即2
| bn |
| bn-1 |
| bn+1 |
∴{
| bn |
（II）∵a1=0，b1=1，
∴a2=2，b2=4，a3=6，b3=9，
又{
| bn |
故bn=n2，
当n≥2时，an=n（n-1），
又a1=0，∴an=n（n-1），
∴Sn=1-
| 1 |
| n |
当n=2时，
| 7 |
| 5 |
| 7 |
| 10 |
当n=3时，
| 7 |
| 5 |
| 14 |
| 15 |
当n≥4时，Tn≥
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 42 |
| 205 |
| 144 |
| 7 |
| 5 |
而
| 7 |
| 5 |
| 7 |
| 5 |
| 1 |
| n |
| 7 |
| 5 |
综上，
| 7 |
| 5 |
点评：本题考查等差数列的证明和不等式的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．
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