Question

若当a∈（0，1）时，由x、y满足的关系式log_ax+3log_xa-log_xy=3确定的函数y=f（x）的最大值为

2

4

，求a的值及y最大时相应的x的值．

Answer 1

分析：把原方程转化为log_ax+

3

logax

-

logay

logax

=3，即log_ay=log_a²x-3log_ax+3=（log_ax-

3

2

）²+

3

4

，然后利用二次函数的性质求如果y有最大值

2

4

时a和x的值．

解答：解：由所给关系式变形为：logay=(logax-

3

2

)2+

3

4

…（3分）
∵y=f（x）有最大值

2

4

，且0＜a＜1，∴log_ay有最小值loga

2

4

…（6分）
当logax=

3

2

时，loga

2

4

=

3

4

…（8分）
∴a=

1

4

…（10分）
此时log

1

4

x=

3

2

∴x=

1

8

即a=

1

4

，x=

1

8

为所求…（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的值域与最值、对数方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．