Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，∠BAC=90°，AB=AC．直线l与以AB为直径的圆相切于点B．点E是圆上异于A、B的任意一点，直线AE与l相交于点D．
（Ⅰ）如果AD=10，BD=6，求DE的长；
（Ⅱ）连接CE，过E作CE的垂线交线段AB于点F．求证：BD=BF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于DB是圆的切线，因此根据切割线定理得出的DB²=DE•DA即可求出DE的长；
（Ⅱ）连接BE，证明△CEA∽△FEB，△ABE∽△ABD，利用AB=AC，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：∵BD是切线，AD=10，AB=8，∴BD=6，
∵DB²=DE•DA，
∴DE=3.6；
（Ⅱ）证明：连接BE，∵AB为圆的直径，∴∠AEB=90°
∴∠CEA=∠FEB
∵A，C，E，F四点共圆
∴∠C=∠EFB
∴△CEA∽△FEB
∴

AC

BF

=

AE

BE

∵△ABE∽△ABD，∴

AE

BE

=

AB

BD

∴

AC

BF

=

AB

BD

∵AB=AC
∴BD=BF

点评：本题主要考查了切线的性质、切割线定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点，属于中档题．