Question

某厂生产产品x件的总成本c（x）=

1

12

x3（万元），已知产品单价P（万元） 与产品件数x满足：P²=

k

x

，生产1件这样的产品单价为16万元．
（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；
（2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？

Answer 1

分析：（1）利用一件产品的单价可得得出k，进而得出P与x的关系，用毛利润减去总成本即可得出总利润；
（2）利用导数即可得出极大值，进而得到最大值．

解答：解：（1）由题意有162=

k

1

，解得k=256，
∴P=

256 x

=

16

x

，
∴总利润L(x)=x•

16

x

-

x3

12

=-

x3

12

+16

x

(x＞0)；
（2）由（1）得L′(x)=-

1

4

x2+

8

x

，令L′(x)=0⇒

8

x

=

1

4

x2，
解得x=4，则x=4，所以当产量定为4时，总利润最大．
答：产量x定为4件时总利润L（x）最大．

点评：熟练掌握利润与成本的关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值等是解题的关键．