题目内容

已知F₁，F₂分别是双曲线 $数学公式$ 的左、右焦点，过点F₂与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F₁F₂为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
（2，+∞）

D
分析：根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F₂的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F₁F₂为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．
解答：如图所示，
过点F₂（c，0）且与渐近线 $\text{[math]}$ 平行的直线为 $\text{[math]}$ ，

与另一条渐近线 $\text{[math]}$ 联立 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，即点M $\text{[math]}$ ．
∴|OM|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵点M在以线段F₁F₂为直径的圆外，∴|OM|＞c，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
∴双曲线离心率e= $\text{[math]}$ ．
故双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
故选D．
点评：熟练掌握平行线与向量的关系、双曲线的渐近线、两点间的距离计算公式、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．

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