Question

已知如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，、F分别为线段AB、CD的动点，且EF∥BC，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）．
（1）当AE为何值时，BD⊥EG；
（2）在（1）的条件下，求BD与平面ABF所成角的大小．

Answer 1

解：（1）沿EF将梯形ABCD翻折后，以EF所在直线为x轴，以EB所在直线为y轴，以EA所在的直线为z轴，建立空间坐标系，设EA=t，t∈（0，2）．
则A（0，0，t ），B（2-t，0，0 ），D（0，1，t），G（2-t，1，0）．
∴=（t-2，1，t），=（2-t，1，0）．
∵BD⊥EG，
∴=0，即-（t-2）²+1=0，解得 t=1 或t=3（舍去）．
故EA=1．
（2）在（1）的条件下，A（0，0，1 ），B（ 1，0，0 ），F（0，，0 ），D（0，1，1 ），
=（-1，1，1），=（-1，0 1），=（-1，，0 ）．
设平面ABF的法向量为=（a，b，1），由=0，=0，解得 a=-1，b=1，故 =（-1，1，1）．
设BD与平面ABF所成角为θ，则 sinθ=cos＜，＞===，
∴θ=arcsin ．
分析：（1）沿EF将梯形ABCD翻折后，建立空间坐标系，设EA=t，t∈（0，2），求出和的坐标，由BD⊥EG，得=0，解方程求得t的值．
（2）在（1）的条件下，求出、的坐标，设出平面ABF的法向量为的坐标，由=0，=0，解得的坐标，设BD与平面ABF所成角为θ，则由sinθ=cos＜，＞
=，运算求得结果，即可得到θ的值．
点评：本题主要考查直线和平面所成的角的定义和求法，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题．