Question

如图，已知抛物线M：x²=4py（p＞0）的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A，B，再分别过A，B两点作l的垂线，垂足分别为C，D．
（1）求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；
（2）若△ACN，△BDN，△ANB的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为抛物线的准线l的方程为y=-p，所以可设点N，A，B的坐标分别为（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由题设条件知x₁²-2mx₁-4p²=0，x₂²-2mx₂-4p²=0，所以x₁和x₂是关于x的方程x²-2mx-4p²=0两个实数根，所以x1，2=m±

m2+4p2

，由此可知直线AB必经过y轴上的一个定点Q（0，p），即抛物线的焦点．
（2）由（1）知x₁+x₂=2m，所以N为线段CD的中点，取线段AB的中点E，因为Q是抛物线的焦点，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE=

1

2

EN•CN+

1

2

EN•DN=

1

2

EN•(CN+DN)=EN•CN=

AC+BD

2

•CN=

AB•CN

2

，又因为S△ACN=

AC•CN

2

=

AQ•CN

2

，S△BDN=

BD•DN

2

=

BQ•CN

2

，所以

AQ•CN

2

，

BQ•CN

2

，

AB•CN

2

成等差数列，即AQ，BQ，AB成等差数列，由此入手可求出点N的坐标．

解答：解：（1）因为抛物线的准线l的方程为y=-p，所以可设点N，A，B的坐标分别为（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁²=4py₁，x₂²=4py₂，由x²=4py，得y=

x2

4p

，求导数得y′=

x

2p

，于是

y1+p

x1-m

=

x1

2p

，即

x 2 1 4p +p

x1-m

=

x1

2p

，
化简得x₁²-2mx₁-4p²=0，
同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，
所以x₁和x₂是关于x的方程x²-2mx-4p²=0
两个实数根，所以x1，2=m±

m2+4p2

，且x₁x₂=-4p²．
在直线AB的方程y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)中，
令x=0，
得y=y1-

y2-y1

x2-x1

x1=

x2y1-x1y2

x2-x1

═

x1x2(x1-x2)

4p(x2-x1)

=-

x1x2

4p

=p为定值，
所以直线AB必经过y轴上的一个定点Q（0，p），即抛物线的焦点．（5分）
（2）由（1）知x₁+x₂=2m，所以N为线段CD的中点，取线段AB的中点E，
因为Q是抛物线的焦点，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE=

1

2

EN•CN+

1

2

EN•DN=

1

2

EN•(CN+DN)=EN•CN=

AC+BD

2

•CN=

AB•CN

2

，
又因为S△ACN=

AC•CN

2

=

AQ•CN

2

，S△BDN=

BD•DN

2

=

BQ•CN

2

，
所以

AQ•CN

2

，

BQ•CN

2

，

AB•CN

2

成等差数列，即AQ，BQ，AB成等差数列，
即0-x₁，x₂-0，x₂-x₁成等差数列，所以x₂-2x₁=2x₂，x₂=-2x₁，
所以x1x2=-2

x

2 1

=(m+

m2+4p2

)(m-

m2+4p2

)=-4p2，x1=±

2

p，x1=

2

p时，x2=-2

2

p，m=

x1+x2

2

=-

2

2

p，x1=-

2

p时，x2=2

2

p，m=

x1+x2

2

=

2

2

p，所以所求点N的坐标为(±

2

2

p，  -p)．

（10分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，数形结合效果很好．