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精英家教网如图,已知抛物线M:x2=4py(p>0)的准线为l,N为l上的一个动点,过点N作抛物线M的两条切线,切点分别为A,B,再分别过A,B两点作l的垂线,垂足分别为C,D.
求证:直线AB必经过y轴上的一个定点Q,并写出点Q的坐标.
分析:设点N,A,B的坐标代入抛物线方程,求得y=
x2
4p
,求导数后可知切线斜率进而可得
y1+p
x1-m
=
x1
2p
,化简整理得x12-2mx1-4p2=0,同理可得x22-2mx2-4p2=0,进而可知x1和x2是关于x的方程x2-2mx-4p2=0的两个根,进而可求得这两个根,直线AB的方程y-y1=
y2-y1
x2-x1
(x-x1)
中,令x=0得y=y1-
y2-y1
x2-x1
x1=
x2y1-x1y2
x2-x1
整理后可知结果为定值,进而可知直线AB必经过y轴上的一个定点Q(0,p),即抛物线的焦点.
解答:证明:因为抛物线的准线l的方程为y=-p,
所以可设点N,A,B的坐标分别为(m,-p),(x1,y1),(x2,y2),
则x12=4py1,x22=4py2,由x2=4py,得y=
x2
4p

求导数得y′=
x
2p
,于是
y1+p
x1-m
=
x1
2p

x
2
1
4p
+p
x1-m
=
x1
2p

化简得x12-2mx1-4p2=0,
同理可得x22-2mx2-4p2=0,
所以x1和x2是关于x的方程x2-2mx-4p2=0
两个实数根,所以x1,2=m±
m2+4p2
,且x1x2=-4p2
在直线AB的方程y-y1=
y2-y1
x2-x1
(x-x1)
中,
令x=0,
y=y1-
y2-y1
x2-x1
x1=
x2y1-x1y2
x2-x1
x1x2(x1-x2)
4p(x2-x1)
=-
x1x2
4p
=p
为定值,
所以直线AB必经过y轴上的一个定点Q(0,p),即抛物线的焦点.
点评:本题主要考查了抛物线的应用,考查了学生综合分析问题和运算的能力.
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