题目内容

{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,…，求a3.

解:由已知a4a3=(a2+2)(a1+2)=5×2=10×1,?

∴a3可能取值1，2，5，10.?

若a3=1，a4=10,?

从而a5=，?

显然a5不是非负整数，与题设矛盾.?

若a3=10，则a4=1,?

从而a5=60.?

但再计算a6=Equation.3，也与题设矛盾.?

∴a3=2,a4=5.(或a3=5,a4=2a5N*,舍去)

点评:本例用归纳、猜想、证明的思想方法来解决.已给出a1,a2,但递推式是关于连续四项的一个等式，若无其他条件一般是不能确定数列的，因an∈N,我可用整数知识及反证法推理来确定a3=2,a4=5.


练习册系列答案
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已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a3；
（2）证明an=an-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{an}的通项公式及其前n项和Sn．
已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an=an-2+2，(n∈N*，n≥3)，则数列{an}的通项公式为
an=n+(-1)n
an=n+(-1)n
．
（2013•北京）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=An-Bn．
（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，…的最小值记为Bn，dn=An－Bn.

(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；

(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

 
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=An-Bn．
（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

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