Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=PA．
（I）求证：PA⊥B₁C；
（II）求PA与平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出

AP

、

B1C

，只要证明

AP

•

B1C

=0即可．
（Ⅱ）取平面ABB₁A₁的法向量

n

，利用公式则sinθ=|cos＜

AP，

n

＞|=

| AP • n |

| AP | | n |

求出即可．

解答：解：由题意可以建立以下空间直角坐标系：以点B为坐标原点，分别以BA、BC、BB₁所在的直线为x轴、y轴、z轴．如图所示：设|BA|=2，|BB₁|=z，则B（0，0，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），B₁（0，0，z），A₁（2，0，z），C₁（0，2，z），∴线段A₁C₁的中点P（1，1，z），
∴

AP

=(-1，1，z)．
∵|PA|=|AB|=2，∴

1+1+z2

=2，解得z=

2

．即B₁（0，0，

2

），A₁（2，0，

2

），C1(0，2，

2

)．
（Ⅰ）∵

AP

=(-1，1，

2

)，

B1C

=(0，2，-

2

)，
∴

AP

•

B1C

=2-2=0，∴

AP

⊥

B1C

，即AP⊥B₁C．
（Ⅱ）设PA与平面ABB₁A₁所成角为θ，(0＜θ≤

π

2

)．
取平面ABB₁A₁的法向量

n

=(0，1，0)，
则sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=

| AP • n |

| AP | | n |

=

1

2

．
∴θ=

π

6

．

点评：通过建立空间直角坐标系，利用数量积和平面的法向量是解决此类问题的通法，应熟练掌握．