Question

【题目】已知椭圆过点,离心率为.若是椭圆上的不同的两点, 的面积记为.

（I）求椭圆的方程;

（II）设直线的方程为, , ,求的值;

（III）设直线, 的斜率之积等于,试证明：无论如何移动,面积保持不变.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.

【解析】试题分析：(I)利用列方程,求出的值,由此得到椭圆方程.(II)联立直线的方程和椭圆方程,求得交点坐标,利用点到直线距离公式求得三角形的高,由此得到三角形面积的表达式,并由此求得的值.(III)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,代入向量运算,利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积的表达式,化简得到面积保持不变.

试题解析：

（I）由题知,

解得,

所以椭圆的方程为.

（II）法1:由得点到直线的距离所以的面积即解得

（III）椭圆方程为,

过两点的直线的方程,其中, ,

则,

得,

,,

因为,

所以.

则,

坐标原点到直线的距离为,

所以,

所以无论如何移动,面积保持不变. 的值为.