Question

已知函数f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f′（a_n），求数列{a_n}的通项公式；及前n项和S_n
（Ⅱ）已知数列{b_n}满足b₁=t＞0，b_n+1=f（b_n）（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，易求a_n+1=f′（a_n）=2a_n+2，从而得

an+1+2

an+2

=2，结合已知有：数列{a_n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；利用分组求和法即可求得前n项和S_n；
（Ⅱ）依题意，可求b_n+1+1=(bn+1)2，两端取对数，可证数列{lg（b_n+1）}是首项为lg（t+1），公比为2的等比数列，从而可求数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2x，
∴f′（x）=2x+2，
∴a_n+1=f′（a_n）=2a_n+2，
∴

an+1+2

an+2

=2，又a₁+2=3，
∴数列{a_n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+2=3×2^n-1，
∴a_n=3×2^n-1-2；
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=3（1+2+2²+…+2^n-1）-2n
=3×

1-2n

1-2

-2n
=3×2ⁿ-2n-3．
（Ⅱ）∵b_n+1=f（b_n）=bn2+2b_n，
∴b_n+1+1=(bn+1)2，
两边取对数：lg（b_n+1+1）=2lg（b_n+1），
∴

lg(bn+1+1)

lg(bn+1)

=2
∴数列{lg（b_n+1）}是公比为2的等比数列，
又lg（b₁+1）=lg（t+1），
∴lg（b_n+1）=lg（t+1）•2^n-1=lg(t+1)2n-1，
∴b_n+1=(t+1)2n-1，
∴b_n=(t+1)2n-1-1．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定及分组求和的应用，（Ⅱ）中对b_n+1+1=(bn+1)2两端取对数是关键，也是难点，考查分析、运算与应用能力，属于难题．