Question

已知函数
（1）若，求证：函数在(1，+∞)上是增函数；
（2）当时，求函数在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在[l，e]，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）详见解析；（2）的最小值为1，相应的x值为1；（3）的取值范围是.

试题分析：（1）当时,，当，，因此要证在上是增函数，只需证明在上有，而这是显然成立的，故得证；（2）由（1）中的相关结论，可证当时，在上是增函数，在上的最小值即为；（3）可将不等式变形为，因此问题就等价于当时，需满足，利用导数求函数在上的单调性，可知在上为增函数，故，即的取值范围是．
（1）当时,，当，，
故函数在上是增函数                 2分；
（2）,当,，
当时，在上非负(仅当，时，)，
故函数在上是增函数,此时.
∴当时,的最小值为1,相应的值为1.         5分；
（3）不等式,可化为.
∵， ∴且等号不能同时取,所以,即，
因而()，
令(),又，
当时，，，
从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数，
故的最小值为,所以的取值范围是.        10分.