Question

已知函数f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]，θ∈[0，2π）．
（1）当θ=

π

6

时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求θ的范围，使f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数．

Answer 1

分析：（1）当θ=

π

6

时，f（x）=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，利用二次函数的性质求得f（x）的最大值和最小值．
（2）因为f（x）=x²+2xsinθ-1的对称轴为x=-sinθ，由题意可得-sinθ≤-

3

2

，或-sinθ≥

1

2

，求得sinθ的范围，再结合θ的范围，确定出θ的具体范围．

解答：解：（1）当θ=

π

6

时，f（x）=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
由于x∈[-

3

2

，

1

2

]，故当x=-

1

2

时，f（x）有最小值-

5

4

；当x=

1

2

时，f（x）有最大值-

1

4

…（6分）
（2）因为f（x）=x²+2xsinθ-1的对称轴为x=-sinθ，
又欲使f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数，则-sinθ≤-

3

2

，或-sinθ≥

1

2

，即sinθ≥

3

2

或sinθ≤-

1

2

．
因为θ∈[0，2π]，故所求θ的范围是[

π

3

，

2π

3

]∪[

7π

6

，

11π

6

]．…（6分）

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题．