Question

已知曲线y＝x³－x在点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁x₂≠1)处的切线l₁、l₂互相垂直，垂足为点C，且弦AB的斜率k＝，求证：点C在x轴上．

Answer 1

答案：
解析：

证明：设l1、l2分别交x轴于点(x3，0)、(x4，0)，∵=x2－1　∴l1：y－y1=(－1)(x－x1)，l2：y－y2=(－1)(x－x2)． 　　令y=0，得x3=，x4=， 　　x3－x4 ==·　　① 　　∵l1⊥l2，∴(－1)(－1)=－1，　　　　　　　　　　　　 ② 　　－－=－2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③ 　　②、③代入①，得x3－x4=(x1－x2)(2＋x1x2)　　　　　　　　　 ④． 　　∵k=，∴= 　　即(+＋x1x2)－3=1．由③得＋x1x2－2=0，即(x1x2＋2)(x1x2－1)=0． 　　∵x1x2≠1． 　　∴x1x2＋2=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤ 　　⑤代入④，得x3=x4，即l1与l2交x轴于同一点，故C在x轴上． 　　点评：一般地，利用导数的几何意义与斜率公式可分别把两切线垂直、切点弦的斜率转化为两切点坐标的关系式，即把位置关系转化为数量关系．当直接 求两切线交点的坐标运算量较大时，可根据相关式子的特征选择“作差”法． 　　分析：(1)利用导数的几何意义与两切线垂直的条件，求出切线方程；(2)求切线与指定坐标轴的交点坐标；(3)由已知条件证得两交点的横坐标相同．