Question

【题目】在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是 ．

Answer 1

【答案】3+2
【解析】解：锐角△ABC中，sinA=sinBsinC， ∴sin（B+C）=sinBsinC，
即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，
∴cosBsinC=sinB（sinC﹣cosC），
∴sinC= （sinC﹣cosC），
两边都除以cosC，得tanC=tanB（tanC﹣1），
∴tanB= ；
又tanB＞0，∴tanC﹣1＞0，
∴tanB+2tanC= +2tanC
= +2tanC
=1+ +2（tanC﹣1）+2≥3+2 =3+2 ，
当且仅当 =2（tanC﹣1），即tanC=1+ 时取“=”；
∴tanB+2tanC的最小值是3+2 ．
故答案为：3+2 ．
根据sinA=sinBsinC，得出sin（B+C）=sinBsinC，从而求出tanC、tanB的关系，代入tanB+2tanC中，利用基本不等式求出它的最小值．