Question

已知四棱锥的底面是菱形．，，，与交于点，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为，分别为，的中点，

            所以∥．

            又平面,平面．

            所以∥平面．

（Ⅱ）证明：连结，

            因为，

所以．

在菱形中，，

又因为，

所以平面．

又平面，

所以．

在直角三角形中，，，

所以．

又，为的中点，所以．

又因为  所以平面．

（Ⅲ）解：过点作∥，所以平面．

如图，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．

可得，，，，　　

，．

所以，，

．

设是平面的一个法向量，则

，即，

令，则．

设直线与平面所成的角为，可得．

所以直线与平面所成角的正弦值为．