Question

【题目】已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）由条件建立关于的方程组，可求得，得出椭圆的方程；

（2）①当直线的斜率不存在时，可求得，求得，②当直线的斜率存在且不为0时，设 联立直线与椭圆的方程，求出线段，再由得出线段，根据等差中项可求得，得出结论.

（1）由条件得，所以椭圆的方程为：；

（2），

①当直线的斜率不存在时，，此时,

②当直线的斜率存在且不为0时，设,联立 消元得，

设，

，

直线的斜率为，同理可得

，

所以，

综合①②，存在常数，使得成等差数列.