Question

（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1.

（1）求证：f（8）＝3

（2）求不等式f（x）－f（x－2）>3的解集.

 

Answer 1

（1）见证明；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1.所以f（8）＝f（4×）＝f（4）＋f（2）＝f（2×2）＋f（2）＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝3f（2）=32

（2）原不等式可化为f（x）>f（x－2）+3，由（1）得f（8）＝3，所以由条件可得f（x）>f（x－2）＋f（8）＝f（8x－16）∵f（x）是（0，+∞）上的增函数∴解不等式可得.

试题解析: （1）证明 ：由题意得f（8）＝f（4×2）＝f（4）＋f（2）＝f（2×2）＋f（2）＝

f（2）＋f（2）＋f（2）＝3f（2）

又∵f（2）＝1 ∴f（8）＝3

（2）【解析】
原不等式可化为f（x）>f（x－2）+3

∵f（8）＝3 ∴f（x）>f（x－2）＋f（8）＝f（8x－16）

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数

∴解得.

考点：抽象函数赋值法和解不等式.