Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，则?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$的取值范围是[0，1）．

Answer 1

分析 ?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$的取值范围，转化为利用导数求切线的斜率，即可得出．

解答 解：f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$，
x=0时，f′（0）=0；
x＞0时，f′（x）=$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{x}^{2}}+1}}$∈（0，1）；
x＜0时，f′（x）=-$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{x}^{2}}+1}}$∈（-1，0），
综上可得：f′（x）∈[0，1）．
即?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$的取值范围是[0，1）．
故答案为：[0，1）．

点评 本题考查了利用导数求切线的斜率、割线的斜率、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．