Question

如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：在三角形ABC中，由∠CBD-∠CAB求出∠ACB的度数，再由AB的长，以及sin∠CAB与sin∠ACB的值，利用正弦定理表示出BC，在三角形DBC中，由由CD，∠CBD=45°与∠CDB=90°+θ，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入利用诱导公式化简，即可求出cosθ的值．

解答：解：在△ABC中，AB=100m，∠CAB=15°，∠ACB=45°-15°=30°，
∴由正弦定理得：

100

sin30°

=

BC

sin15°

，
解得：BC=200sin15°（m），
在△DBC中，CD=50m，∠CBD=45°，∠CDB=90°+θ，
sin15°=sin（45°-30°）=

2

2

×

3

2

-

2

2

×

1

2

=

6 - 2

4

，
∴由正弦定理得：

50

sin45°

=

200sin15°

sin(90°+θ)

，
解得：sin（90°+θ）=cosθ=

200sin15°sin45°

50

=

3

-1．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．