Question

设O为△ABC的内心，当AB=AC=5，BC=6时，

AO

=m

AB

+n

BC

，则m+n的值为______．

Answer 1

由题意，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立坐标系，则A（0，4），B（-3，0），C（3，0），则

AB

（-3，-4），

BC

=（6，0）
因为点O在∠ABC的平分线上，所以

BO

与

BA

及

BC

的单位向量的和向量共线．
设这个和向量为

u

，则

u

=（

3

5

，

4

5

）+（1，0）=（

8

5

，

4

5

），

u

的单位向量

u0

=（

2

5

，

1

5

），它与

BO

的单位向量相等，
又

BO

=（3，k），由此得方程

2

5

=

3

9+k2

，解方程得k=

3

2

（另一负根不合题意，舍去）．
所以

AO

=（0，

3

2

-4）=（0，-

5

2

）．
又

AO

=m

AB

+n

BC

，故（0，-

5

2

）=m（-3，-4）+n（6，0），即

-3m+6n=0 -4m=- 5 2

，解得m=

5

8

，n=

5

16

．
故答案为：

15

16