Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，?n∈N^*，S_n+1=2S_n+1．
（Ⅰ）求数列{S_n}的通项公式．
（Ⅱ）对?n∈N^*，．

Answer 1

（Ⅰ）解：依题意，?n∈N^*，S_n+1+1=2S_n+1+1=2（S_n+1）
又S₁+1=a₁+1=2≠0，所以{S_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列                          
所以，
（Ⅱ）证明：对?n∈N^*，，所以?n∈N^*，
∴
∴
∴…（10分）
两式相减，整理得=＜4
分析：（Ⅰ）由数列递推式，证明{S_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，从而可求数列{S_n}的通项公式
（Ⅱ）确定，可得，再利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查错位相减法求数列的和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．