Question

【题目】数列{an}定义为a1＞0，a11=a，an+1=an+ an2 ， n∈N*
（1）若a1= （a＞0），求 + +…+ 的值；
（2）当a＞0时，定义数列{bn}，b1=ak（k≥12），bn+1=﹣1+ ，是否存在正整数i，j（i≤j），使得bi+bj=a+ a2+ ﹣1．如果存在，求出一组（i，j），如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

故 ，

∴ ；

（2）由 得 ，

两边平方得

故 ，

当b1=ak时，由 知 ，

又 ，数列{an}递增，

故b2=ak﹣1，

类似地，b3=ak﹣2，…，bt=ak﹣t+1，

又 ， ， ，

bi+bj=a10+a12，

∴ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12，

存在正整数i，j（i≤j），k﹣i+1=12，k﹣j+1=10i=k﹣11，j=k﹣9，

存在一组（i，j）=（k﹣11，k﹣9）．

【解析】（1）化简递推公式利用裂项相消法求出数列的和。（2）由已知递推关系可得到=,而故代入可推出b2=ak﹣1，从而可得b3=ak﹣2，…，bt=ak﹣t+1，进而可得ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12 即得出结论。
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．