题目内容

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3b₁=3，a₂=6，b_n+1=2b_n-2ⁿ，b_n=a_n-na_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（I）探究数列 $数学公式$ 是等差数列还是等比数列，并由此求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和S_n．

解：（I）∵b_n+1=2b_n-2ⁿ，∴b_n+1-2b_n=-2ⁿ，∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
∴数列{ $\text{[math]}$ }构成以 $\text{[math]}$ 为首项，以- $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （n-1），
∴b_n= $\text{[math]}$ ）．
（II）∵b_n=a_n-na_n-1，∴a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（ a_n-1-2^n-1 ），
∴ $\text{[math]}$ =n，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
=n（n-1）（n-2）×…×3×2，又 a₁=3，故 a_n=n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+2ⁿ，
na_n=n×n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+n 2ⁿ=（n+1）!-n!+n 2ⁿ，
∴s_n=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+（（n+1）!-n!）+（1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）
=（n+1）!-1+（ 1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）．
令T_n=1×2+2×2²+…+n2ⁿ，①则 2T_n=1×2²+2×2³+…+n 2ⁿ⁺¹，②
①-②可得，-T_n=2+2²+2³+…-n 2ⁿ⁺¹，∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴s_n=（n+1）!+（n-1）2ⁿ⁺¹+1．
分析：（I）由条件可得数列{ $\text{[math]}$ }构成以 $\text{[math]}$ 为首项，以- $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （n-1），从而得到b_n．
（II）先推出 $\text{[math]}$ =n，可得 $\text{[math]}$ ═n（n-1）（n-2）×…×3×2，得到na_n=（n+1）!-n!+n 2ⁿ，进而得到 s_n=（n+1）!-1+（ 1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）．用错位相减法求得1×2+2×2²+…+n2ⁿ 的值，即可得到s_n的值．
点评：本题考查等差数列、等比数列的定义、性质，以及求和公式的应用，用错位相减法进行数列求和，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ，是解题的难点．