Question

选修4-2：矩阵与交换
已知二阶矩阵M=

1 b c 1

，矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）．求矩阵M将圆x²+y²=1变换后的曲线方程．

Answer 1

分析：根据矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1），可求得M=

1 2 -1 1

．在单位圆上设点P（x，y），P被M变换后变成曲线C上的点Q（x'，y'），利用矩阵变换的公式列方程组，并将x、y表示成x'、y'的式子，将此关系式作为点P坐标，代入单位圆方程，化简整理即得变换后的曲线C方程．

解答：解：∵二阶矩阵M=

1 b c 1

，矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）．
∴M

2 1

=

4 -1

，即

1 b c 1

•

2 1

=

4 -1

可得

2+b=4 2c+1=-1

，解之得

b=2 c=-1

，所以M=

1 2 -1 1

设点P（x，y）是圆x²+y²=1上的任意一点，变换后的点为Q（x'，y'），则
M

x y

=

x′ y′

，可得

x′=x+2y y′=-x+y

，从而

x= 1 3 (x′-2y′) y= 1 3 (x′+y′)

将点P（

1

3

（x'-2y'），

1

3

（x'+y'））代入单位圆方程，得

1

9

（x'-2y'）²+

1

9

（x'+y'）²=1，化简整理得：2（x'）²+5（y'）²-2x'y'-9=0
∴M将圆x²+y²=1变换后的曲线C方程为：2x²+5y²-2xy-9=0．

点评：本题给出矩阵M，叫我们求单位圆经M变换后的曲线的方程，着重考查了矩阵的乘法法则和矩阵变换的含义等知识，属于基础题．