Question

【题目】如图，已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|=3，且△ABC的周长为14．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ= = ，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由丨AF丨2=b2+c2=a2，则a=3，

△ABC的周长为2（丨AC丨+a）=14，即 +a=7，得b2=7，

则c= = ，

椭圆的离心率为e= = ；

（2）解：方法一：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x﹣4），

设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），

由 = ，得 = ，化简得2y1y2=y0（y1+y2）①，由 消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2=0，

得y1+y2=﹣ ，y1y2= ，代入①式得y0=﹣ k，由y0=k（x0﹣4），得x0= ，

λ= = =﹣1+ =﹣1+ ，由 ＜x1≤3，得0＜x1﹣ ≤ ，则λ≥﹣1+ = ，

因此，N在一条直线x= 上，实数λ∈[ ，+∞）．

【解析】（1）由丨AF丨2=b2+c2=a2 ， 则a=3，2（丨AC丨+a）=14，即可求得b的值，则c= = ，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率；（2）方法一：由 = ，整理得2y1y2=y0（y1+y2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，即可求得x0= ，λ= = ，利用 ＜x1≤3，即可求得实数λ的取值范围；方法二：由 = ，整理得2y1y2=y0（y1+y2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，利用求根公式，求得x0= ，λ= = ≥ ，即可求得实数λ的取值范围；方法三：由题意可在 =λ ， =﹣λ ，根据向量的坐标运算，求得P，Q坐标，代入椭圆方程，整理求得x0= ，同方法一，即可求得即可求得实数λ的取值范围．法二：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x﹣4），不妨设k＞0， 设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），N（x0 ， y0），y2＜y1 ，
由λ= = ，得λ= = ，化简得2y1y2=y0（y1+y2）①，（6分）
由y1=λ（y0﹣y1），y2=λ（y2﹣y0），得y1+y2=λ（y2﹣y1），②，
由 消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2=0，
可知△=（56k）2﹣4×（9k2+7）×49k2=49k2﹣36（1﹣k2）＞0，
得y1+y2=﹣ ，y1y2= ，y1 ， 2= ，代入①式得y0=﹣ k，由y0=k（x0﹣4），得x0= 由②式得﹣ =λ ，得λ= = ≥ ，
因此，N在一条直线x= 上，实数λ∈[ ，+∞）法三：设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），N（x0 ， y0），x2＜x1 ， 由λ= = ，
得 =λ ， =﹣λ ，∴ ， 将P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），代入椭圆程得 ，上面两式相减化简得x0= ，
λ= = =﹣1+ =﹣1+ ，由 ＜x1≤3，得0＜x1﹣ ≤ ，则λ≥﹣1+ = ，
因此，N在一条直线x= 上，实数λ∈[ ，+∞）．

【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．