Question

7．已知命题p：?x∈R，使得x²-2x+m＜0，命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示椭圆．
（Ⅰ）写出命题p的否定形式；
（Ⅱ）若命题p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用￢p定义即可得出；
（II）命题p：?x∈R，使得x²-2x+m＜0，可得△=4-4m≥0，解得m．命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示椭圆，可得$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{2-m＞0}\\{m+1≠2-m}\end{array}\right.$，解得m范围．由命题p∨q为真，
求其并集即可得出．

解答 解：（I）￢p：?x∈R，使得x²-2x+m≥0．
（II）∵命题p：?x∈R，使得x²-2x+m＜0，∴△=4-4m≥0，解得m≤1．
命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示椭圆，∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{2-m＞0}\\{m+1≠2-m}\end{array}\right.$，解得-1＜m＜2，且m$≠\frac{1}{2}$．
∵命题p∨q为真，
∴m＜2．
故实数m的取值范围是m＜2．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解法、椭圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．