Question

设定义域为[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），=（x，y），满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），又有向量=λ+（1-λ），现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的方向向量可以为=（0，1）；
③“函数y=5x²在[0，1]上可在标准1下线性近似”；
④“函数y=5x²在[0，1]上可在标准下线性近似”．
其中所有正确结论的番号为    ．

Answer 1

【答案】分析：由条件推出，故①成立；说明M，N的横坐标相同即可；对于函数y=5x²在[0，1]上，求出M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），||=≤，故④成立，③不成立，从而得到答案．
解答：解：由=λ+（1-λ），得，即故①成立；
∵向量=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），向量=λ+（1-λ），
∴向量的横坐标为λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∵=（x，y），满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∴MN∥y轴
∴直线MN的方向向量可以为=（0，1），故②成立
对于函数y=5x²在[0，1]上，易得A（0，0），B（1，5），
所以M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），
从而=≤，
故函数y=5x²在[0，1]上可在标准下线性近似”，故④成立，③不成立，
故答案为：①②④
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，求出M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），正确理解新定义是解题的关键．