题目内容

设定义域为[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量
OA
=（x1，y1），
OB
=（x2，y2），
OM
=（x，y），满足x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1），又有向量
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，现定义“函数y=f（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指|
MN
|≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：①A、B、N三点共线；②“函数y=5x2在[0，1]上可在标准1下线性近似”； ③“函数y=5x2在[0，1]上可在标准
5
4
下线性近似”． 其中所有正确结论的序号为（　　）
A、①、②B、②、③
C、①、③D、①、②、③
分析：由条件推出
BN
=λ
BA
，故①成立；对于函数y=5x2在[0，1]上，求出M（1-λ，5（1-λ）2），
N（1-λ，5（1-λ）），|
MN
|=
25[(λ-
1
2
)2+
1
4
]2
≤
5
4
，故③成立，②不成立，从而得到答案．
解答：解：由
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，得
ON
-
OB
=λ(
OA
-
OB
)，即
BN
=λ
BA
，故①成立；
 对于函数y=5x2在[0，1]上，易得A（0，0），B（1，5），
所以M（1-λ，5（1-λ）2），N（1-λ，5（1-λ）），
从而|
MN
|=
52(1-λ)2-(1-λ))2
=5(λ-λ2)=-5(λ-
1
2
)2+
5
4
≤
5
4
=
25[(λ-
1
2
)2+
1
4
]2
≤
5
4
，
故函数y=5x2在[0，1]上可在标准
5
4
下线性近似”，故③成立，②不成立，
故选C．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，求出M（1-λ，5（1-λ）2），N（1-λ，5（1-λ）），是解题的关键．
练习册系列答案
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（2012•资阳三模）设定义域为[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量
OA
=（x1，y1），
OB
=（x2，y2），
OM
=（x，y），满足x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1），又有向量
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，现定义“函数y=f（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指|
MN
|≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的方向向量可以为
a
=（0，1）；
③“函数y=5x2在[0，1]上可在标准1下线性近似”；
④“函数y=5x2在[0，1]上可在标准
5
4
下线性近似”．
其中所有正确结论的番号为
①②④
①②④
．
设定义域为[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量
OA
=（x1，y1），
OB
=（x2，y2），
OM
=（x，y），满足x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1），又有向量
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，现定义“函数y=f（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指|
MN
|≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的方向向量可以为
a
=（0，1）；
③“函数y=5x2在[0，1]上可在标准1下线性近似”；
④“函数y=5x2在[0，1]上可在标准
5
4
下线性近似”．
其中所有正确结论的番号为______．
设定义域为[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量=（x1，y1），=（x2，y2），=（x，y），满足x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1），又有向量=λ+（1-λ），现定义“函数y=f（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：①A、B、N三点共线；②“函数y=5x2在[0，1]上可在标准1下线性近似”； ③“函数y=5x2在[0，1]上可在标准下线性近似”． 其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①、②
B．②、③
C．①、③
D．①、②、③
设定义域为[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量=（x1，y1），=（x2，y2），=（x，y），满足x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1），又有向量=λ+（1-λ），现定义“函数y=f（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的方向向量可以为=（0，1）；
③“函数y=5x2在[0，1]上可在标准1下线性近似”；
④“函数y=5x2在[0，1]上可在标准下线性近似”．
其中所有正确结论的番号为    ．

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