Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

a

a-1

（a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=yz{

10

9

}^n-1-

100

9

．
（1）求a_n与b_n的表达式；
（2）设c_n=（n+

an

an

）bn，试问数列{c_n}有没有最小项？如果有，求出这个最小项；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由S_n=

a

a-1

（a_n-1），知a₁=a，

an

an-1

=a．所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．由b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=（n+10）•（

9

10

）^n-1-

100

9

得：b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n+9）•（

9

10

）^n-2-

100

9

（n≥2）．由此能求出b_n．
（2）Cn=(n+

an

an

) bn=-

n+1

9

•(

10

9

)n-1，所以c_n+1-c_n=-

n+2

9

（

9

10

）ⁿ+

n+1

9

（

9

10

）^n-1=

n-8

90

•（

9

10

）^n-1．经分类讨论知c₉、c₈是数列的最小项且c₈=c₉=-（

9

10

）⁷．

解答：解：（1）因为S_n=

a

a-1

（a_n-1），
所以，当n=1时，a₁=S₁=

a

a-1

（a₁-1），解之得a₁=a；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

a

a-1

a_n-

a

a-1

a_n-1，即

an

an-1

=a．
又a≠0，a≠1，所以数列{a_n}是等比数列．
所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
由b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=（n+10）•
（

9

10

）^n-1-

100

9

得：b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n+9）•（

9

10

）^n-2-

100

9

（n≥2）．
两式相减得nb_n=（n+10）•（

9

10

）^n-1-（n+9）•（

9

10

）^n-2=-

n

10

（

9

10

）^n-2．
故b_n=-

1

9

•（

9

10

）^n-1（n≥2），
当n=1时，b₁=11-

100

9

=-

1

9

也符合上式，
故b_n=-

1

9

•（

9

10

）^n-1．
（2）Cn=(n+

an

an

) bn=-

n+1

9

•(

10

9

)n-1，
所以c_n+1-c_n=-

n+2

9

（

9

10

）ⁿ+

n+1

9

（

9

10

）^n-1
=

n-8

90

•（

9

10

）^n-1．
当n＞8时，c_n+1＞c_n，故c₉＜c₁₀＜，
当n=8时，c_n+1-c_n=0，故c₉=c₈，
当n＜8时，c_n+1＜c_n，故c₁＞c₂＞c₃＞＞c₈．
综上可得，c₉、c₈是数列的最小项且c₈=c₉=-（

9

10

）⁷．

点评：本题考查数列通项公式的求法和用分类讨论思想求解数列的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．