Question

已知函数f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f(x)=

a(x-1)

x2

，知f′(x)=

ax2-2ax(x-1)

x4

=

2a-ax

x3

，由a＞0，知当f′(x)=

2a-ax

x3

＞0时，

2a-ax＞0 x3＞0

，或

2a-ax＜0 x3＜0

，由此能求出函数f（x）的单调增区间；当f′(x)=

2a-ax

x3

＜0时，

2a-ax＜0 x3＞0

，或

2a-ax＞0 x3＜0

，由此能求出函数f（x）的单调减区间．
（Ⅱ）由g（x）=xlnx-a（x-1），知g'（x）=lnx+1-a，当0＜a≤1时，g'（x）≥0，g（x）是增函数，最大值是g（e）=e-a（e-1）；当a≥2时，g'（x）≤0，g（x）是减函数，最大值是g（1）=0；当1＜a＜2时，g（x）先减后增，最大值是g（1）或g（e）．由此能求出g（x）在区间[1，e]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=

a(x-1)

x2

，
∴f′(x)=

ax2-2ax(x-1)

x4

=

2a-ax

x3

，
∵a＞0，
∴由f′(x)=

2a-ax

x3

＞0，
得

2a-ax＞0 x3＞0

，或

2a-ax＜0 x3＜0

，
∴0＜x＜2，或无解，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，2）．
由f′(x)=

2a-ax

x3

＜0，
得

2a-ax＜0 x3＞0

，或

2a-ax＞0 x3＜0

，
∴x＞2或x＜0．
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，0）和（2，+∞）．
（Ⅱ）∵f(x)=

a(x-1)

x2

，g（x）=xlnx-x²f（x），，
∴g（x）=xlnx-a（x-1），
∴g'（x）=lnx+1-a，
当0＜a≤1时，g'（x）≥0，g（x）是增函数，最大值是g（e）=e-a（e-1）；
当a≥2时，g'（x）≤0，g（x）是减函数，最大值是g（1）=0；
当1＜a＜2时，g（x）先减后增，最大值是g（1）或g（e）．
设g（1）＞g（e），即 e-a（e-1）＜0，即 a＞

e

e-1

，
所以若

e

e-1

＜a＜2 时，最大值是g（1），
若1＜a＜

e

e-1

，最大值是g（e）．
综上，0＜a＜

e

e-1

时，最大值是g（e）=e-a（e-1）；

e

e-1

＜a＜2 时，最大值是g（1）=0．

点评：本题考查函数的单调区间的求法和求g（x）在区间[1，e]上的最大值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真解答，注意导数性质的灵活运用．易错点是分类不清，导致出错．