Question

给定直线动圆M与定圆外切且与直线相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是曲线C上两动点（异于坐标原点O），若求证直线AB过一定点，并求出定点的坐标.

Answer 1

（1）（2）

试题分析：解：（1）由已知可得：定圆的圆心为（－3，0），且M到（－3，0）的距离比它到直线的距离大1，∴M到（－3，0）的距离等于它到直线的距离，
∴动圆圆心M的轨迹为以F（－3，0）为焦点，直线为准线的抛物线，开口向左，
， ∴动圆圆心M的轨迹C的方程为：
（也可以用直接法：，然后化简即得：）；
（2）方法一：经分析：OA,OB的斜率都存在，都不为0，设OA：，则OB：，
联立和的方程求得A（，），同理可得B（，）,
∴, 即: ,
令,则,∴,∴直线AB与x轴交点为定点，
其坐标为。方法二：当AB垂直x轴时，设A，则B，
∵∴，∴
此时AB与x轴的交点为；
当AB不垂直x轴时，设AB：，联立和有：
，∴，
∵∴，即：，
∴AB：，此时直线AB与x轴交点为定点，其坐标为,
综上：直线AB与x轴交点为定点，其坐标为。
点评：对于题目涉及到关于直线和其他曲线的交点时，一般都可以用到跟与系数的关系式：在一元二次方程中，。