Question

在平面直角坐标系中，设点P（x，y），定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点．对于下列结论：
①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设点P是直线：上任意一点，则；
③设点P是直线：y=kx+1（k∈R）上任意一点，若使得[OP]最小的点P有无数个，则k的值是k=±1；
④设点P是圆x²+y²=1上任意一点，则．
其中正确的结论序号为    ．

Answer 1

【答案】分析：①根据新定义由[OP]=|x|+|y|=1，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是的正方形，求出正方形的面积即可；
②举一个反例，令y=0，求出相应的x，根据新定义求出[OP]=|x|+|y|，即可得到[OP]的最小值为1是假命题；
③根据|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|，把y=kx+b代入即可得到，当[OP]最小的点P有无数个时，k等于1或-1；而k等于1或-1推不出[OP]最小的点P有无数个，所以得到k=±1是“使[OP]最小的点P有无数个”的必要不充分条件．
解答：解：∵[OP]=|x|+|y|，
∴当[OP]=1，点P的轨迹如图所示：其面积为2，故①正确；
若点P是直线：上任意一点，②当P（，0）时，[OP]=|x|+|y|=＜1，所以[OP]的最小值不为1，故②错误；
③因为|x|+|y|≥|x+y|=|（k+1）x+b|，当k=-1时，|x|+|y|≥|b|，满足题意；
而|x|+|y|≥|x-y|=|（k-1）x-b|，当k=1时，|x|+|y|≥|b|，满足题意，故③正确；
④设点P是圆x²+y²=1上任意一点，可设x=sinx，y=cosx，则[OP]=|sinx|+|cosx|∈[1，]，故④正确
故答案为：①③④
点评：此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．