Question

已知函数f(x)=cos(x-

2π

3

)-mcosx(m∈R)的图象经过点P(0，-

3

2

)．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为，若f(B)=-

3

2

，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）把点P的坐标代入到函数f（x）的解析式中，即可得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把求出的m代入函数解析式中，利用两角差的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，由ω的值利用三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期即可；
（Ⅱ）把x=B代入函数f（x）的解析式，利用两角差得正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后得到sin（B-

π

3

）的值，由B的范围求出B-

π

3

的范围，根据特殊角的三角函数值即可求出B的度数，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，把b，c及cosB的值即可得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(0)=-

1

2

-m=-

3

2

，
∴m=1．（2分）
∴f(x)=cos(x-

2π

3

)-cosx=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

sin(x-

π

3

)．
故函数f（x）的最小正周期为2π；（5分）
（Ⅱ）f(B)=

3

sin(B-

π

3

)=-

3

2

，
∴sin(B-

π

3

)=-

1

2

．
∵0＜B＜π，
∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，
∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

．（7分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a2+3-2×a×

3

×

3

2

，即a²-3a+2=0，
故a=1或a=2．（10分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及求法，余弦定理及三角函数的恒等变形．学生在第二问求B度数时注意由B的范围求出B-

π

3

的范围．熟练掌握三角函数的恒等变换公式是解本题的关键．