题目内容

12．某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为 $\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$．
（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；
（2该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖），且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列和数学期望．

分析 （1）由相互独立事件的概率及对立事件的概率计算公式求得答案；
（2）分别求出X的取值为0，10000，30000，60000的概率，列出频率分布表，代入期望公式得答案．

解答 解：（1）设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C，且相互独立，
A，B，C至少有一次实验成功为事件D，
则P（D）=1-P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=1-P（$\overline{A}$）（$\overline{B}$）（$\overline{C}$）=1-$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{59}{60}$；
（2）X的取值为0，10000，30000，60000，
则P（X=0）=$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}=\frac{9}{25}$，
P（X=10000）=$（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}）=\frac{7}{25}$，
P（X=30000）=$（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}[1-（\frac{2}{3}）^{2}-{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}]=\frac{7}{75}$
P（X=60000）=$（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}[（\frac{2}{3}）^{2}+{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}]=\frac{4}{15}$．
∴X的分布列为

 X 0 10000 30000 60000
 P $\frac{9}{25}$ $\frac{7}{25}$ $\frac{7}{75}$ $\frac{4}{15}$
∴X的数学期望E（X）=$0×\frac{9}{25}+10000×\frac{7}{25}+30000×\frac{7}{75}+60000×\frac{4}{15}$=2160（元）．

点评 本题考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，关键是对题意的理解，是中档题．

练习册系列答案
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 x1 2 34  56 
 y1 2.54  56  7.5
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（在线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x$\widehat{a}$中，$\widehat{b}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{n+1}{x}_{1}{y}_{1}-n\widehat{x}\widehat{y}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{n-1}{x}_{1}^{2}-n\widehat{x}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x，$\widehat{x}$，$\widehat{y}$为样本平均值）
3．不等式|x+1|+|x-2|≤|2x-1|的解集为{x|x≤-1，或 x≥2}．
20．为分析某一位同学在高一学年里的学习状态，现对他在高一六次测试的数学成绩年级排名x和物理成绩年级排名y进行了统计，如表：
数学成绩排名x82016243022
物理成绩排名y131822222421
（1）试分析该同学数学和物理成绩那科更加稳定？并证明你的结论？
（2）若该学生的物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，并通过最小二乘法原理计算得到回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.45x+$\stackrel{∧}{a}$，现知他在期末考试中他的数学成绩年级排名第40名，试估计他的物理成绩年级排名．
7．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系随机统计了某4天的用电量与当天气温
气温（℃）141286
用电量22263438
（1）求用电量y与气温x之间的线性回归方程，
（2）由（1）的方程预测气温为5℃时，用电量的度数．
参考公式：$\begin{array}{l}b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x}）（{y_i}-\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x}{）^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \overline a=\overline y-b\overline x\end{array}$．
17．设离散型随机变量X的概率分布如表：则随机变量X的数学期望为（　　）
X0123
Pi$\frac{1}{6}$$\frac{1}{3}$$\frac{1}{6}$p
A．$\frac{2}{3}$B．$\frac{4}{3}$C．$\frac{5}{3}$D．$\frac{7}{6}$
4．已知复数z=$\frac{1+2i}{3-i}$（i是虚数单位），则复数z的虚部是（　　）
A．$\frac{1}{10}$iB．$\frac{1}{10}$C．$\frac{7}{10}$D．$\frac{7}{10}$i
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