题目内容

设复数z1和z2满足关系式z1
.
z
2+
.
A
z1+A
.
z
2=0，其中A为不等于0的复数．
证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）
z1+A
z2+A
=|
z1+A
z2+A
|.
分析：（1）因为|z|=|
.
z
|，故|z1+A||z2+A|=|z1+A||
.
z2
+
.
A
|，展开与已知式子比较可得解题思路．
（2）利用复数的除法运算的算法和（1）中的结论可证．
解答：证明：（1）∵|z1
.
z
2+
.
A
z1+A
.
z
2+A
.
A
|=|A
.
A
|=||A|2|=|A|2
所以|z1+A||z2+A|=|A|2
（2）∵A≠0，由此得z1+A≠0，z2+A≠0，
z1+A
z2+A
=
(z1+A)(
.
z
2+
.
A
)
(z2+A)(
.
z
2+
.
A
)
=
z1
.
z
2+A
.
z
2+
.
A
z1+A
.
A
|z2+A|2
=
|A|2
|z2+A|2

=
|z1+A||z2+A|
|z2+A|2
=
|z1+A|
|z2+A|
=|
z1+A
z2+A
|.
点评：本题考查复数的运算、复数的模等知识，综合性较强．
练习册系列答案
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.
z2
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设复数z1和z2满足关系式z1
.
z
2+
.
A
z1+A
.
z
2=0，其中A为不等于0的复数．
证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）
z1+A
z2+A
=|
z1+A
z2+A
|.
设复数z1和z2满足关系式，其中A为不等于0的复数．
证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）

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