Question

已知数列{a_n}与{b_n}，若a₁=3且对任意正整数n满足a_n+1-a_n=2，数列{b_n}的前n项和Sn=n2+an．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意知，{a_n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{a_n}的通项公式；当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2n+1，对b₁=4不成立，于是可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T₁=

1

b1b2

=

1

20

，当n≥2时，利用裂项法可求得

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），从而可求T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是公差为2的等差数列，又a₁=3，
∴a_n=2n+1；
当n=1时，b₁=S₁=4；      
当n≥2时，
b_n=S_n-S_n-1=（n²+2n+1）-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，
对b₁=4不成立．
∴数列{b_n}的通项公式：b_n=

4，(n=1) 2n+1，(n≥2)

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T₁=

1

b1b2

=

1

20

，
 当n≥2时，

1

bnbn+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=

1

20

+

1

2

[（

1

5

-

1

7

）+（

1

7

-

1

9

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]
=

1

20

+

1

2

（

1

5

-

1

2n+3

）
=

1

20

+

n-1

10n+15

，
当n=1时仍成立．                      
∴T_n=

1

20

+

n-1

10n+15

对任意正整数n成立．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．