Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各侧棱都垂直于底面，AC=AA₁=4，AB=5，BC=3．
（1）证明：BC⊥AC₁；
（2）求直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由AC=4，AB=5，BC=3，知AC⊥BC，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱都垂直于底面，知平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BC⊥平面A₁ACC₁，由此能证明BC⊥AC₁．
（2）由AA₁=AC=4，知四边形A₁ACC₁是正方形，故A₁C⊥AC₁，AC₁⊥平面A₁BC，所以∠ABM为AB与平面A₁BC所成的角，由此能求出直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值．

解答：解：（1）∵AC=4，AB=5，BC=3，
则AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱都垂直于底面，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BC⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C?平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁．
（2）∵AA₁=AC=4，
∴四边形A₁ACC₁是正方形，
∴A₁C⊥AC₁，
∵BC⊥AC₁，BC∩A₁C=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
设AC₁与A₁C交于点M，连接BM，
则∠ABM为AB与平面A₁BC所成的角，
在Rt△ABM中，AM=2

2

，AB=5，sin∠ABM=

2 2

5

，
∴直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值为

2 2

5

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．