Question

20．如图为一多面体ABCDFE，AB⊥AD，AB∥CD，CD=2AB=2AD=4，
四边形BEFD为平行四边形，BD=DF，∠BDF=$\frac{π}{3}$，DF⊥BC，
（1）求证：平面BCE⊥平面BEFD．
（2）求点B到面DCE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点G，连接BG，通过证明BC⊥平面BDFE，然后证明平面BCE⊥平面BEFD．
（Ⅱ）求出几何体C-BDE的体积，设点B到面DCE的距离为h，由等体积法求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：取CD中点G，连接BG，∵AB∥CD，CD=2AB=2AD=4，
∴AB∥GD，AB=GD=AD=2，∵AB⊥AD，∴四边形ABGD是正方形；…1分
∴$BD=2\sqrt{2}$，GB⊥CD，BG=GD=GC=2，∴$BC=2\sqrt{2}$，
且∠ADB=∠BDC=∠BCD=45°；…2分
∴BD⊥BC∵DF⊥BC，BD∩DF=D∴BC⊥平面BDFE，…4分
∵BC?平面BCE∴平面BCE⊥平面BEFD；…6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面BDFE，∴${V}_{C-BDE}=\frac{1}{3}BC•{S}_{BDE}$，…7分
由∠BDF=$\frac{π}{3}$，得$∠DBE=\frac{2π}{3}$，且$BD=BE=2\sqrt{2}$，∴${S}_{DBE}=\frac{1}{2}•BD•BE•sin\frac{2π}{3}=2\sqrt{3}$…8分
又BC=2$\sqrt{2}$，∴${V}_{C-BDE}=\frac{1}{3}BC•{S}_{BDE}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$；…9分
设点B到面DCE的距离为h，由等体积法，…10分
∴${V}_{C-BDE}=\frac{1}{3}BC．{S}_{BDE}=\frac{1}{3}•{S}_{DCE}•h=\frac{4\sqrt{6}}{3}$．…11分
在△DCE中，易得：$DC=CE=4，DE=2\sqrt{6}$，∴${S_{DCE}}=\sqrt{60}$，…13分
$h=\frac{{4\sqrt{10}}}{10}$．…14分．

点评 本题考查空间几何体的体积的求法，点到平面的距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．