Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$
（1）求角C的大小
（2）若△ABC的外接圆直径为2，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角C的大小．
（2）根据三角形的边角关系，利用正弦定理进行求解即可．

解答 解：（1）由$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$
得sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即sin（C-A）=sin（B-C），
则C-A=B-C，即2C=A+B，
即C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵2C=A+B，
∴A，C，B成等差数列，且C=$\frac{π}{3}$，
设A=$\frac{π}{3}$-α．B=$\frac{π}{3}$+α，则-$\frac{π}{3}$＜-α＜$\frac{π}{3}$．
则a²+b²=（2RsinA）²+（2RsinB）²=4（sin²A+sin²B），
即a²+b²=4（$\frac{1-cos2A}{2}+\frac{1-cos2B}{2}$）=4-2[cos（$\frac{2π}{3}+2α$）+cos（$\frac{2π}{3}-2α$）]
=4+2cos2α，
由-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$，
则$-\frac{2π}{3}$＜2α＜$\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{1}{2}$＜cos2α≤1，
∴3＜a²+b²≤6，
故a²+b²的范围是（3，6]．

点评 本题主要考查三角函数的化简，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．