Question

（2009•嘉定区一模）如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC的边长为2，D为BC的中点，三棱柱的体积V=3

3

．
（1）求该三棱柱的侧面积；
（2）求异面直线AB与C₁D所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：（1）由已知中正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC的边长为2，三棱柱的体积V=3

3

．我们可以计算出棱柱的高，代入到棱柱的侧面积公式，即可求出答案．
（2）取AC中点E，连接DE、C₁E，由三角形中位线定理及异面直线夹角的定义，可得∠C₁DE（或其补角）就是异面直线AB与C₁D所成的角，解△C₁DE即可得到异面直线AB与C₁D所成角的大小．

解答：解：（1）因为三棱柱的体积V=3

3

，而S底=

3

4

×4=

3

，所以A₁A=3…（3分）
所以S_侧=3×2×3=18．…（6分）
（2）取AC中点E，连接DE、C₁E，
则ED∥AB，所以，∠C₁DE（或其补角）就是异面直线AB与C₁D所成的角．…（8分）
在△C₁DE中，C1D=C1E=

10

，DE=1，…（9分）
所以cos∠C1DE=

1

2 10

=

10

20

．…（12分）
所以，异面直线AB与C₁D所成角的大小为arccos

10

20

．…（14分）
（或arcsin

390

20

，或arctan

39

）

点评：本题考查的知识点是异面直线的夹角，三棱柱的体积和表面积，其中（1）的关键是根据已知求出棱柱的高，（2）的关键是构造出∠C₁DE（或其补角）就是异面直线AB与C₁D所成的角，将异面直线夹角问题转化为解三角形问题．