题目内容
将数列{an}中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…，构成数列{bn}．
（Ⅰ）设b8=am，求m的值；
（Ⅱ）若b1=1，对于任何n∈N*，都有bn＞0，且（n+1）bn+12-nbn2+bn+1bn=0．求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{bn}，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列，且a66=
| 2 | 5 |
分析：（Ⅰ）由题设条件可以知道，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43．
（Ⅱ）根据题意知
=
，因此
=
，
=
，…，
=
，将各式相乘得bn=
．
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，表中第1行至第9行共含有数列bn的前63项，故a66在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N*）行所有项的和s（k）．
（Ⅱ）根据题意知
| bn+1 |
| bn |
| n |
| n+1 |
| b2 |
| b1 |
| 1 |
| 2 |
| b3 |
| b2 |
| 2 |
| 3 |
| bn |
| bn-1 |
| n-1 |
| n |
| 1 |
| n |
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，表中第1行至第9行共含有数列bn的前63项，故a66在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N*）行所有项的和s（k）．
解答：解：（Ⅰ）由题意，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43，（4分）
（Ⅱ）由（n+1）bn+12-nbn2+bn+1bn=0，bn＞0，
令t=
得t＞0，且（n+1）t2+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以
=
（8分）
因此
=
，
=
，…，
=
将各式相乘得bn=
（10分）
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，且q＞0．
因为3+4+5+…+11=63，（12分）
所以表中第1行至第9行共含有数列bn的前63项，
故a66在表中第10行第三列，（14分）
因此a66=b10•q2=
．又b10=
，所以q=2．则S(k)=
=
(2k+2-1)．k∈N*（16分）
（Ⅱ）由（n+1）bn+12-nbn2+bn+1bn=0，bn＞0，
令t=
| bn+1 |
| bn |
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以
| bn+1 |
| bn |
| n |
| n+1 |
因此
| b2 |
| b1 |
| 1 |
| 2 |
| b3 |
| b2 |
| 2 |
| 3 |
| bn |
| bn-1 |
| n-1 |
| n |
将各式相乘得bn=
| 1 |
| n |
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，且q＞0．
因为3+4+5+…+11=63，（12分）
所以表中第1行至第9行共含有数列bn的前63项，
故a66在表中第10行第三列，（14分）
因此a66=b10•q2=
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
| bk(1-qk+2) |
| 1-q |
| 1 |
| k |
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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．
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