Question

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（i）求当n∈N*时，的最小值；
（ii）当n∈N*时，求证：；
（2）是否存在实数a₁，使得对任意正整数n，关于m的不等式a_m≥n的最小正整数解为3n﹣2？若存在，则求a₁的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

解：（1）（i）解：∵a₁=1，d=2，
∴，
，
当且仅当，即n=8时，上式取等号．
故的最小值是16．
（ii）证明：由（i）知S_n=n²，
当n∈N*时，，

=
=，
∵，
∴．
（2）假设对n∈N*，关于m的不等式
a_m=a₁+（m﹣1）d≥n的最小正整数解为c_n=3n﹣2，
当n=1时，a₁+（c₁﹣1）d=a₁≥1；
当n≥2时，恒有
，
即，
从而．
当时，对n∈N*，且n≥2时，
当正整数m＜c_n时，有．
a₁符合题意且a₁的取值范围是．