题目内容
已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；
（Ⅱ）设数列｛an｝的通项an=lg（1+
），记Sn是数列｛an｝的前n项和，试比较Sn与
lgbn+1的大小，并证明你的结论.
答案：
解析：
解析：
解：（Ⅰ）设数列｛bn｝的公差为d，由题意得
解得 （Ⅱ）由bn=2n－1，知 Sn=lg（1+1）+lg（1+ =lg［（1+1）（1+
因此要比较Sn与 取n=1，有（1+1）＞ 取n=2，有（1+1）（1+ 由此推测（1+1）（1+ 若①式成立，则由对数函数性质可断定：Sn＞ 下面用数学归纳法证明①式. （i）当n=1时已验证①式成立. （ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+ 那么，当n=k+1时，（1+1）（1+ ·（1+ ∵［ ＝ ∴ 因而 这就是说①式当n=k+1时也成立. 由（i），（ii）知①式对任何正整数n都成立. 由此证得：Sn＞
|
∴bn=2n－1.
）+…+lg（1+
）
）…（1+
）］，
lgbn+1=lg
.
lgbn+1的大小，可先比较（1+1）（1+
）…（1+
）与
的大小.
，
）＞
，……
）…（1+
）＞
. ①
lgbn+1.
）…（1+
）＞
.
）…（1+
）［1+
］＞
）=
（2k+2）.
（2k+2）］2－（
）2
，
.
lgbn+1.
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