Question

已知数列{

a

n

}的前n项和为S_n，且向量

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共线．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{

1

nan

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量

a

=（n，S_n）与向量

b

=（4，n+3）共线，可知S_n=

n(n+3)

4

，从而可求得a₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n+1

2

，检验知a_n=

n+1

2

，利用等差数列的定义即可证明数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）由a_n=

n+1

2

，易求

1

nan

=2（

1

n

-

1

n+1

），从而可求得T_n．

解答：证明：（Ⅰ）证明∵

a

=（n，S_n），

b

=（4，n+3）共线，
∴n（n+3）-4S_n=0，
∴S_n=

n(n+3)

4

，
∴a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n+1

2

，
又a₁=1满足此式，
∴a_n=

n+1

2

；                                     
∴a_n+1-a_n=

1

2

为常数，
∴数列{a_n}为首项为1，公差为

1

2

的等差数列．
（Ⅱ）∵

1

nan

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

a1

+

1

2a2

+…+

1

nan

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）．
=

2n

n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的判定与裂项法，考查向量共线的坐标运算，属于中档题．